Показательные, логарифмические и иррациональные уравнения и неравенства

Где прочитать в школьном учебнике — официальные материалы ФИПИ: в них указаны параграфы всех учебников по теме. ФИПИ Навигатор подготовки к ЕГЭ-2026, профиль: уравнения ↗ ФИПИ Навигатор подготовки к ЕГЭ-2026, профиль: неравенства ↗

Теорема

Иррациональное уравнение

$f (x) = g (x) ⟺ {f (x) = g (x)^{2}, g (x) \geq 0.$ Возведение в квадрат может дать посторонние корни: условие $g (x) \geq 0$ их отсекает.

Разборы задач, где это нужно:

Теорема

Простейшее показательное уравнение

При $a > 0,$ $a \neq = 1 :$ $a^{f (x)} = a^{g (x)} ⟺ f (x) = g (x),$ потому что показательная функция строго монотонна. Приём: обе части записывают как степени одного основания.

Разборы задач, где это нужно:

Определение

Логарифм

Логарифм числа $b > 0$ по основанию $a$ ( $a > 0,$ $a \neq = 1)$ — показатель степени, в которую нужно возвести $a,$ чтобы получить $b :$

$lo g_{a} b = c ⟺ a^{c} = b .$

Разборы задач, где это нужно:

Свойство

Свойства логарифмов

При допустимых значениях: $lo g_{a} (b c) = lo g_{a} b + lo g_{a} c,$ $lo g_{a} \frac{b}{c} = lo g_{a} b - lo g_{a} c,$ $lo g_{a} b^{p} = p lo g_{a} b,$ $a^{l o g_{a} b} = b .$

Разборы задач, где это нужно:

Теорема

Простейшее логарифмическое уравнение

$lo g_{a} f (x) = lo g_{a} g (x) ⟺ f (x) = g (x) > 0 .$ Уравнение $lo g_{a} f (x) = c$ равносильно $f (x) = a^{c} .$

Разборы задач, где это нужно:

Теорема

Показательные и логарифмические неравенства

При $a > 1$ функции $a^{t}$ и $lo g_{a} t$ возрастают, поэтому знак неравенства сохраняется: $a^{f} < a^{g} ⟺ f < g .$ При $0 < a < 1$ знак меняется на противоположный.

Разборы задач, где это нужно:

ЧИСЛА	ОТРЕЗКИ
А) $4 - m$	1) $[0; 1]$
Б) $m^{2}$	2) $[1; 2]$
В) $\frac{6}{m}$	3) $[2; 3]$
Г) $m - 2$	4) $[4; 6]$

ТОЧКИ	ЧИСЛА
$A$	1) $26$
$B$	2) $lo g_{2} 10$
$C$	3) $\frac{7}{3}$
$D$	4) $(\frac{3}{5})^{- 1}$

НЕРАВЕНСТВА	РЕШЕНИЯ
А) $lo g_{4} x > 0$	1) $(1; 5)$
Б) $4^{- x + 7} > 16$	2) $(- \infty; 1) \cup (5; + \infty)$
В) $\frac{x - 1}{x - 5} < 0$	3) $(- \infty; 5)$
Г) $\frac{1}{( x - 5 ) ( x - 1 )} > 0$	4) $(1; + \infty)$

НЕРАВЕНСТВА	РЕШЕНИЯ
А) $2^{- x} < 0, 25$	1) $(5; + \infty)$
Б) $lo g_{5} x > 1$	2) $(2; + \infty)$
В) $\frac{( x - 2 ) ^{2}}{x - 5} < 0$	3) $(2; 5)$
Г) $(x - 5) (x - 2) < 0$	4) $(- \infty; 2) \cup (2; 5)$

Показательные, логарифмические и иррациональные уравнения и неравенства

Иррациональное уравнение

Простейшее показательное уравнение

Логарифм

Свойства логарифмов

Простейшее логарифмическое уравнение

Показательные и логарифмические неравенства

Задачи ЕГЭ по теме — с разбором